析解:题中没有直角三角形,不能直接用勾股定理,可考虑过点b作bd⊥ac,交ac的延长线于d点,构成rt△cbd和rt△abd。在rt△cbd中,因为∠acb=135?,所以∠bcb=45?,所以bd=cd,由bc=,根据勾股定理得bd2+cd2=bc2,得bd=cd=1,所以ad=ac+cd=3。在rt△abd中,由勾股定理得ab2=ad2+bd2=32+12=10,所以ab=。

点评:这两道题有一个共同的特征,都没有现成的直角三角形,都是通过添加适当的辅助线,巧妙构造直角三角形,借助勾股定理来解决问题的,这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想,请同学们要留心。

二、利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

例3:已知a,b,c为△abc的三边长,且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。试判断△abc的形状。

析解:由于所给条件是关于a,b,c的一个等式,要判断△abc的形状,设法求出式中的a,b,c的值或找出它们之间的关系(相等与否)等,因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,所以a2-10a+b2-24b+c2-26c+338=0,所以a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0,所以(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0。因为(a-5)2≥0,(b-12)2≥0,(c-13)2≥0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,即a=5,b=12,c=13。因为52+122=132,所以a2+b2=c2,即△abc是直角三角形。

点评:用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的"数形结合思想"的重要体现。

三、利用勾股定理说明线段平方和、差之间的关系

例4:如图3,在△abc中,∠c=90?,d是ac的中点,de⊥ab于e点,试说明:bc2=be2-ae2。

析解:由于要说明的是线段平方差问题,故可考虑利用勾股定理,注意到∠c=∠bed=∠aed=90?及cd=ad,可连结bd来解决。因为∠c=90?,所以bd2=bc2+cd2。又de⊥ab,所以∠bed=∠aed=90?,在rt△bed中,有bd2=be2+de2。在rt△aed中,有ad2=de2+ae2。又d是ac的中点,所以ad=cd。故bc2+cd2=bc2+ad2=bc2+de2+ae2=be2+de2,所以be2=bc2+ae2,所以bc2=be2-ae2。

点评:若所给题目的已知或结论中含有线段的平方和或平方差关系时,则可考虑构造直角三角形,利用勾股定理来解决问题。

勾股定理教案篇2

教学目标

1、知识与技能目标：探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，通过探究能够发现直角三角形中两个直角边的平方和等于斜边的平方和。

2、过程与方法目标：经历用测量和数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理能力。

3、情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，培养主动探究的习惯，并进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学重点

了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点

勾股定理的探究以及推导过程。

教学过程

一、创设问题情景、导入新课

首先出示：投影1（章前的图文）并介绍我国古代在勾股定理研究方面的贡献，结合课本第六页谈一谈我国是最早了解勾股定理的国家之一，介绍商高（三千多年前周期的数学家）在勾股定理方面的贡献。

出示课件观察后回答：

1、观察图1—2，正方形a中有_______个小方格，即a的面积为______个单位。

正方形b中有_______个小方格，即b的面积为______个单位。

正方形c中有_______个小方格，即c的面积为______个单位。

2、你是怎样得出上面的结果的？

3、在学生交流回答的基础上教师进一步设问：图1—2中，a，b，c面积之间有什么关系？学生交流后得到结论：a+b=c。

二、层层深入、探究新知

1、做一做

出示投影3（书中p3图1—3）

提问：（1）图1—3中，a，b，c之间有什么关系？（2）从图1—2，1—3中你发现什么？

学生讨论、交流后，得出结论：以三角形两直角边为边的正方形的面积和，等于以斜边为边的正方形面积。

2、议一议

图1—2、1—3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？

（1）你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学交流的基础上，共同探讨得出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这就是著名的“勾股定理”。也就是说如果直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c那么。我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的为股，斜边为弦，这就是勾股定理的由来。

（2）分别以5厘米和12厘米为直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度（学生测量后回答斜边长为13）请大家想一想（2）中的规律，对这个三角形仍然成立吗？

3、想一想

我们常见的电视的尺寸：29英寸（74厘米）的电视机，指的是屏幕的长吗？还是指的是屏幕的宽？那他指什么呢？能否运用刚才所学的知识，检验一下电视剧的尺寸是否合格？

三、巩固练习。

1、在图1—1的问题中，折断之前旗杆有多高？

2、错例辨析：△abc的两边为3和4，求第三边

解：由于三角形的两边为3、4

所以它的第三边的c应满足

=25即：c=5辨析：（1）要用勾股定理解题，首先应具备直角三角形这个必不可少的条件，可本题三角形abc并未说明它是否是直角三角形，所以用勾股定理就没有依据。（2）若告诉△abc是直角三角形，第三边c也不一定是满足，题目中并未交待c是斜边。

综上所述这个题目条件不足，第三边无法求得

四、课堂小结

鼓励学生自己总结、谈谈自己本节课的收获，以及自己对勾股定理的理解，老师加以纠正和补充。

五、布置作业

勾股定理教案篇3

一、教学目标

1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．

2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识．

二、重点、难点

1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．

2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题．

3．难点的突破方法：

三、课堂引入

创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从而使用一些数学知识和数学方法．

四、例习题分析

例1（p83例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得pr=12×1。5=18，pq=16×1。5=24，qr=30；

⑷因为242+182=302，pq2+pr2=qr2，根据勾股定理的逆定理，知∠qpr=90°；

⑸∠prs=∠qpr—∠qps=45°．

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识．

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状．

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由52+122=132，知三角形为直角三角形．

解略．

本题帮助培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识．

勾股定理教案篇4

一、全章要点

1、勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即：a2+b2=c2)

2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的证明常见方法如下：

方法一：，，化简可证.

方法二：

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为

大正方形面积为所以

方法三：，，化简得证

4、勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如 ; ; ; ;8,15,17;9,40,41等

二、经典训练

(一)选择题：

1. 下列说法正确的是( )

a.若 a、b、c是△abc的三边，则a2+b2=c2;

b.若 a、b、c是rt△abc的三边，则a2+b2=c2;

c.若 a、b、c是rt△abc的三边，，则a2+b2=c2;

d.若 a、b、c是rt△abc的三边，，则a2+b2=c2.

2. △abc的三条边长分别是、、，则下列各式成立的是( )

a. b. c. d.

3.直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )

a.121 b.120 c.90 d.不能确定

4.△abc中，ab=15，ac=13，高ad=12，则△abc的周长为( )

a.42 b.32 c.42 或 32 d.37 或 33

(二)填空题：

5.斜边的边长为，一条直角边长为的直角三角形的面积是 .

6.假如有一个三角形是直角三角形，那么三边、、之间应满足，其中边是直角所对的边;如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是三角形，其中边是边，边所对的角是 .

7.一个三角形三边之比是，则按角分类它是三角形.

8. 若三角形的三个内角的比是，最短边长为，最长边长为，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是 .

9.如图，已知中，，，，以直角边为直径作半圆，则这个半圆的面积是 .

10. 一长方形的一边长为，面积为，那么它的一条对角线长是 .

三、综合发展:

11.如图，一个高、宽的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长.

12.一个三角形三条边的长分别为，，，这个三角形最长边上的高是多少?

13.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

14.如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起?

15.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少?

16.中华人民共和国道路交通管理条例规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过 km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方 m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为 m，这辆小汽车超速了吗?

勾股定理教案篇5

重点、难点分析

本节内容的重点是勾股定理的逆定理及其应用．它可用边的关系判断一个三角形是否为直角三角形．为判断三角形的形状提供了一个有力的依据．

本节内容的难点是勾股定理的逆定理的应用．在用勾股定理的逆定理时，分不清哪一条边作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错；另外，在解决有关综合问题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来讲也是一个困难的地方．

教法建议：

本节课教学模式主要采用“互动式”教学模式及“类比”的教学方法．通过前面所学的垂直平分线定理及其逆定理，做类比对象，让学生自己提出问题并解决问题．在课堂教学中营造轻松、活泼的课堂气氛．通过师生互动、生生互动、学生与教材之间的互动，造成“情意共鸣，沟通信息，反馈流畅，思维活跃”，达到培养学生思维能力的目的．具体说明如下：

（1）让学生主动提出问题

利用类比的学习方法，由学生将上节课所学习的勾股定理的逆命题书写出来．这里分别找学生口述文字；用符号、图形的形式板书逆命题的内容．所有这些都由学生自己完成，估计学生不会感到困难．这样设计主要是培养学生善于提出问题的习惯及能力．

（2）让学生自己解决问题

判断上述逆命题是否为真命题？对这一问题的解决，学生会感到有些困难，这里教师可做适当的点拨，但要尽可能的让学生的发现和探索，找到解决问题的思路．

（3）通过实际问题的解决，培养学生的数学意识．

教学目标：

1、知识目标：

（1）理解并会证明勾股定理的逆定理；

（2）会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形；

（3）知道什么叫勾股数，记住一些觉见的勾股数.

2、能力目标：

（1）通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力；

（2）通过勾股定理及以前的知识联合起来综合运用，提高综合运用知识的能力.

3、情感目标：

（1）通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受；

（2）通过知识的纵横迁移感受数学的辩证特征．

教学重点：勾股定理的逆定理及其应用

教学难点：勾股定理的逆定理及其应用

教学用具：直尺，微机

教学方法：以学生为主体的讨论探索法

教学过程：

1、新课背景知识复习（投影）

勾股定理的内容

文字叙述（投影显示）

符号表述

图形（画在黑板上）

2、逆定理的获得

（1）让学生用文字语言将上述定理的逆命题表述出来

（2）学生自己证明

逆定理：如果三角形的三边长有下面关系：

那么这个三角形是直角三角形

强调说明：（1）勾股定理及其逆定理的区别

勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理．

（2）判定直角三角形的方法：

①角为、②垂直、③勾股定理的逆定理

2、定理的应用（投影显示题目上）

例1 如果一个三角形的三边长分别为

则这三角形是直角三角形

例2 如图，已知：cd⊥ab于d，且有

求证：△acb为直角三角形。

以上例题，分别由学生先思考，然后回答．师生共同补充完善．（教师做总结）

4、课堂小结：

（1）逆定理应用时易出现的错误：分不清哪一条边作斜边（最大边）

（2）判定是否为直角三角形的一种方法：结合勾股定理和代数式、方程综合运用。

5、布置作业：

a、书面作业p131＃9

b、上交作业：已知：如图，△def中，de＝17，ef＝30，ef边上的中线dg＝8

求证：△def是等腰三角形

勾股定理教案篇6

[教学分析]

勾股定理是揭示三角形三条边数量关系的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一。它是解直角三角形的主要依据之一，同时在实际生活中具有广泛的用途，“数学源于生活，又用于生活”正是这章书所体现的主要思想。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际操作，使学生获得较为直观的印象；通过联系比较、探索、归纳，帮助学生理解勾股定理，以利于进行正确的应用。

本节教科书从毕达哥拉斯观察地面发现勾股定理的传说谈起，让学生通过观察计算一些以直角三角形两条直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理，这时教科书以命题的形式呈现了勾股定理。关于勾股定理的证明方法有很多，教科书正文中介绍了我国古人赵爽的证法。之后，通过三个探究栏目，研究了勾股定理在解决实际问题和解决数学问题中的应用，使学生对勾股定理的作用有一定的认识。

[教学目标]

一、知识与技能

1、探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理，发展几何思维。

2、应用勾股定理解决简单的实际问题

3学会简单的合情推理与数学说理

二、过程与方法

引入两段中西关于勾股定理的史料，激发同学们的兴趣，引发同学们的思考。通过动手操作探索与发现直角三角形三边关系，经历小组协作与讨论，进一步发展合作交流能力和数学表达能力，并感受勾股定理的应用知识。

三、情感与态度目标

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，学生亲自动手对勾股定理进行探索与验证,培养学生的合作交流意识和探索精神，以及自主学习的能力。

四、重点与难点

1、探索和证明勾股定理

2熟练运用勾股定理

[教学过程]

一、创设情景，揭示课题

1、教师展示图片并介绍第一情景

以中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头为引，介绍周公向商高请教数学知识时的对话，为勾股定理的出现埋下伏笔。

周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度.夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘.得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”

2、教师展示图片并介绍第二情景

毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的某种特性。

二、师生协作，探究问题

1、现在请你也动手数一下格子，你能有什么发现吗？

2、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也有这样的特点呢？

3、你能得到什么结论吗？

三、得出命题

勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。解释：由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的边称为股，斜边称为弦，所以，把它叫做勾股定理。

四、勾股定理的证明

赵爽弦图的证法（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的