随便应付完成的心得是没有阅读的价值的，写心得的目的就是为了记录我们内心的真实感受，心得感悟是对人生历程的总结，激励我们不断探索未知的领域，以下是好老师范文网小编精心为您推荐的学科前沿心得7篇，供大家参考。
学科前沿心得篇1
近年来，对等网络引起了信息产业界的极大关注，2000年8月成立了p2p工作组，成员包括intel、ibm和hp公司等。发展对等网络的其他主要障碍还有版权问题、网络带宽问题、管理问题和安全问题等。如何连接电话、手机和家电、工业设备等，也是对等网络需要解决的问题。国内对等网络市场从2000年开始启动。国内的应用主要有2个方向:文件共享及协同工作。在文件共享方面，国内已经有多家公司推出了自己的产品，目前主要的中文对等网络软件有workslink、ezpeer、jelawat、kuro和toperson等，还有pasp_e-school实时交互多媒体在线课堂教学软件。在未来，企业对等网络应用将是热点，主要将解决企业内部事务处理的协同、企业门户、企业虚拟专网()、远程互动和宽带应用等。国内基于对等网络技术的企业应用产品有km-server中小企业知识管理软件等。云计算(cloud computing)是基于互联网的相关服务的增加、使用和交付模式，通常涉及通过互联网来提供动态易扩展且经常是虚拟化的资源。云是网络、互联网的一种比喻说法。过去在图中往往用云来表示电信网，后来也用来表示互联网和底层基础设施的抽象。狭义云计算指it基础设施的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需资源;广义云计算指服务的交付和使用模式，指通过网络以按需、易扩展的方式获得所需服务。这种服务可以是it和软件、互联网相关，也可是其他服务。它意味着计算能力也可作为一种商品通过互联网进行流通。
这学期学院开设的前沿讲座的课程，很有幸听到了张晨曦教授对于自己在计算机前沿方面研究的讲座，让我对这些知识有了深入浅出的理解，受益匪浅。
3月24号，张晨曦教授在讲座的最开始，对计算机前沿的知识做了简要的说明，然后张教授从对等网络、soa简介、超级计算机、超级计算、云计算等几个方面进行了讲授。 由于时间短暂，打算介绍大量的专业的知识是不太现实的。张教授授课的过程中都考虑到了时间限制以及我们有限的知识水平，从大处着眼，为我们大概介绍他们研究方向和内容，同时还会简单向我们介绍这些研究将来的实际意义，以及和我们软件工程专业的联系。总的来说，也许理论上逻辑上的很专业的知识，我们并没有学到多少，但张教授利用紧张的时间，就基本上将一个新的领域在我们的脑海中勾勒了出来，使我们这些死啃书本的学生也有机会现实了一把，真正了解到与生活有直接联系的科学研究。
张教授不仅在学术领域给我们打开了新的窗户，使我们眼前一亮，也为我们介绍他们在工作学习中切身的体会及经验，提前向我们预警就业道路及工作生涯可能遇到的问题。 计算机前沿类讲座旨在帮助大家了解相关领域的学科前沿知识，更好地学习、思考。张教授以自己的学识和阅历向同学们展现了当今it业发展的现状以及存在的问题，引导同学们积极思考，使其收获颇多。
这就是我的心得体会，听完这个课，我感到责任重大，即使是一个点，也还有很多方面值得拓展和探索，作为研究生，研究是我们主要的工作，想要取得满意的结果和优异的成绩，我们所要做的就是倍加努力，汲取现有的知识，在新的领域开拓新的研究道路，积极探索，永不止步。
学科前沿心得篇2
大学里开设的课程总是异彩纷呈，可以无限地满足我们学生求知欲和好奇心，似乎无论我们对哪一方面感兴趣，总可以在琳琅满目的课程条目中找到自己的归宿。然而，本学期我院开设的学科前沿讲座，却在众多的课程中独领风骚，展现出了其独特的魅力，其专业性、尖端性，在学术领域给我们打开了新的窗户，使我们眼前一亮。
学科前沿是指某一学科中最能代表该学科发展趋势制约该学科当前发展的关键性科学问题、难题及相应的学说。在短短一年的时间里，我们有幸参加学习了各种学术讲座和教育讲座。这无疑全是精华中的萃取，而对于我们学生而言，则更是一场知识盛宴，带给我们完全优于课本，来自时代尖端的知识风暴。下面我将就自己这一学年的所学，谈谈自己我简单的想法。
在这十六次精彩纷呈的讲座中，给我留下最深刻的印象就是校医院开设的急救知识安全培训讲座。
主讲老师理论联系实践，深入浅出地向同学们讲解了灾难的分类、急救的基本程序、创伤救护的'基本技术以及心肺复苏的实施方法。讲座现场，老师与学生们形成良好互动，由学生扮演受伤者，现场演示了不同伤情下创伤救护的止血包扎方式，并利用模拟人手把手地教同学们如何进行心肺复苏操作,对胸外按压的部位、频率、深度和气道开放消除异物的方法以及人工呼吸的要点进行了详细讲解。同学们听得非常投入，反响热烈并积极参与，几名同学代表在老师的指导下先后进行了现场练习。
此次讲座内容丰富精彩，达到了预期效果。通过学习和演练，同学们对急救知识有了更加全面的了解，同时也掌握了一些基本急救技能，增强了同学们的自我保护意识。极大的提升了自己的急救能力。
既然上学了，免不了面对就业问题，在3月27号，潘显钟老师给我们带来了一场就业指导讲座。潘显钟老师主要从学校理念的各项数据入手，包括研究生毕业初期的待遇情况，近几年毕业生的留京比例，以及继续深造与直接就业的差异等等，深入浅出的为我们剖析当前的就业形势。
一个人如果想实现他的目标，需要付出很多的努力，他在开始之前需要有很多的准备工作。所以我们不能够在面临就业抉择之时才去确定自己的人生目标，应该尽早做出打算，给自己定一个符合自己能力范围内的目标。职业生涯规划的训练有助于全面提高大学生的综合素质，避免学习的盲目性和被动性；规划个人的职业生涯，可以使职业目标和实施策略能了然于心中，并便于从宏观上予以调整和掌控，能让大学生在职业探索和发展中少走弯路，节省时间和精力；同时，职业生涯规划还能对大学生起到内在的激励作用，使大学生产生学习、实践的动力，激发自己不断为实现各阶段目标和终极目标而进取。
大学生首先要认识到生涯规划的重要意义，职业生涯规划将伴随我们的大半生，拥有明确的职业生涯规划才能实现完美人生。因此，职业生涯规划具有特别重要的意义。人的成功或许就在于那一分钟的坚持，一分钟之后你或许就是那个成功者，但是如果那一分钟你没有继续坚持而是选择放弃，那你注定是失败的，潘老师用实例向我们证明，没有人天生愚笨，也没有人注定一事无成，一个人的成功与否在于他对一件事情的热爱程度，决定于你对目标的坚持。每个人的潜力都是无穷的，只要你足够自信，相信自己，并锁定目标坚持不懈，那你就是最后的成功者。
大学是人才的培养基地，讲座则是大学生活中浓墨重彩的一道风景。丰富多彩的讲座对于繁荣校园文化，活跃学术气氛，鼓励理论研究和学术创新等，具有良好的促进作用。而对于人才培养和教育而言，在“通才教育”理念占据教育哲学主导地位的时代，讲座是其中不可忽视的培养和塑造手段。指导性讲座能给大学生以切实的人生指导，引导他们养成健康的生活方式；学术性讲座是大学生开阔知识视野，发掘学术兴趣和增强学术功底的第二通道，并能广泛涉猎各个学科领域，这对于优化学生的知识结构，提升他们的综合素质具有不可替代的作用。在讲座这个自由的空间里，我们有机会和来自各个方面各个行业的人接触，能从他们那里听到许多在校园中接触不到的事情；在学术科研讲座上，我们有机会分享专家、学者们潜心研究的成果，聆听他们的观点和见解，了解他们学术人生的平凡与伟大；听了某位成功人士的演讲我们可能会热血沸腾，激发出创业的勇气和信心……以上种种，都是讲座给我们带来的收获。
学科前沿心得篇3
朱真才，肖兴明，刘同冈和李威四位教授讲了机械工程学科的现状及前沿发展，学科研究方向，重大项目研究方向，中国矿业大学机电学院的学科科研现状。通过听他们的讲座，我对我们机械工程专业的研究方向及未来发展方向有了个系统和比较深入的了解，再也不是过去模糊的概念了。
就内涵来讲，机械工程学科是研究机械系统和产品的性能、设计及制造的理论、方法和技术的科学，包括机械学和制造学两大领域。机械学是研究机械结构和系统性能及其设计理论与方法的科学，包括制造过程及机械系统所涉及的机构学、传动学、动力学、强度学、摩擦学、设计学、仿生机械学、微纳机械学及界面机械学等。
就研究现状来讲，近些年来机械工程基础研究领域取得了一系列突出进展和原创性成果，为我国机械工程和经济建设提供了大批新理论、新技术和新方法，在国内外产生了重要影响，有的领域已在国际学术界占有一席之地。例如，清华温诗铸教授等提出了薄膜润滑概念，发明了纳米薄膜测量技术；燕山大学黄真教授提出少了自由度并联机构综合的普适性方法和通用自由度计算公式；重大彭东林教授发明了时栅位移传感器及其测试系统，是精密测量领域少见的原创成果；武汉理工华林教授提出了环件轧制咬入孔型、塑性锻透和刚性稳定力学模型。虽然我国科技工作者已经取得了大量成果，但机械工程学科在国际上总体还处于落后地位。未来制造业发展总趋势是全球化、信息化、绿色化、知识化和极端化。制造技术的.发展总趋势是基于资源节约和环境保护基础上的数字网络化、高效精确化、智能集成化及制造极端化。许多高新技术我国尚未掌握，许多重大装备我国不能自主设计制造，缺乏自主创新能力。
同时，我国的国情也对我们学科发展有很大的影响。经济快速持续增长，但资源、环境压力增大。经济的快速持续增长对能源资源的需求明显加大，而我国人均资源不足。另外，粗放型的经济增长方式造成能源资源消耗过多，环境污染严重，主要污染物排放量已超过环境承载能力。国际贸易快速增长，但贸易结构和增长方式亟待优化。当前我国贸易仍以数量增长为主，走的也是规模扩张之路，出口产品主要是劳动密集、低附加值产品，付出的资源、环境代价过大，难以为继。因经济增长过渡依赖出口，造成人民币流动性过大，增加了升值压力，且不断面临贸易摩擦。
作为当代机械专业的大学生，我们要牢牢把握住未来机械工程技术发展的五大趋势：绿色、智能、超常、融合、服务。
这就要求我们，运用新的制造资源和基础理论发掘新的制造原理与方法——发展新概念产品。从多尺度演变及其界面效应传递的角度探索零件几何结构与物理性能的高精度调控原理与方法——发展高效、高品质制造技术。以系统科学的视野研究复杂制造过程和装备的集成科学——拓展装备设计理论。以信息流通全局监控为基本线索实现制造与服役过程精确调控——实现智能化制造。制造过程和产品更多体现和谐世界的目标与追求——实现人造系统与自然世界的和谐相容，提升人类生活品质。
我们机械专业的学科研究方向主要有：机械设计及理论，机械制造及其自动化，机械电子工程，车辆工程，微机电工程，我们要根据自己的爱好及个人能力选择合适的方向，以求最好的发展个人的未来。
本专业的重大项目研究方向包括：复杂机电系统的功能原理与集成科学，高性能零件/构件的精密制造，微/纳制造科学与技术，生物制造与仿生制造科学，
学科前沿心得篇4
20xx年5月18日上午在临高县思源学校听了陈专家的专题报告，使我受益匪浅。专家指出课堂教学要多给学生时间和空间，课堂教学是教与学的双边活动，是教师与学生，学生与学生之间进行思想，情感，信息，知识交流的过程。如果仅仅发挥了老师的主导作用，没有学生的“主体参与”，教学也不会有什么成效，所以教师应千方百计地调动每一位学生的积极性，吸引他们参与到我们的课堂教学中来。还有有效的.问题情景有助于学生发现问题和提出问题。并对教学过程起着引导，定向，调节和控制的作用。
问题要围绕教学中心内容，提问的形式要灵活多样。用“新”唤起学生的“心”，学生才会对问题产生浓厚的兴趣，继而积极思考。对于学生熟悉的内容更要善于变换角度，改变方式地提出，并且要有新的要求，使学生不能简单地利用已有的知识和习惯去解决问题。这样学生才会有新鲜感，才会启动思维神经，才能激发学生运用知识探索新问题的积极性。学生动手操作和活动是激活学生兴趣的舞台，是促进发展的战地。
在课堂教学中，教师不妨增设一些趣味活动。让学生进入角色。这些活动可跟学生学过的旧知识联系起来，也可跟学生的生活结合起来。让学生插上想象的翅膀。
下午，听了陈凤云老师《搭配》的展示课，陈老师大胆的把课堂交给学生，耐心地引导学生，让学生在互动中寻找搭配，使我懂得对学生的引导要有耐心，要以学生为主体，善于引导学生主动学习，课堂显得轻松而又活跃，是一节优质课。
学科前沿心得篇5
在一些科学网站上早在两年前就浏览过喻伯军老师发表的《浙江省小学科学教学建议30条》，当时看到如此详尽完善的建议之后，我的心情很复杂。现在再次细读，心情依然复杂，也不知道如何来描述这种复杂的心情，兴许有欣喜，有感叹，有沉重；或许还有其他。
我来自诸暨市实验小学，从事小学科学教育已10多年，经历了《常识》到《科学》教材的变革，新课程理念的洗礼。应该说现在看到这样一份针对我们小学科学教师的《建议》的出台，第一反应心中感到无比欣喜！
说欣喜
欣喜一：《建议》的出台更加坚定了小学科学终将缓步走出边缘学科的信心，它就像一位含羞的小姑娘，以一种犹抱琵琶半遮面的含蓄妩媚之美逐渐展现他的刚阳底蕴，成为小学阶段的核心学科。这是一个原因，为小学科学角色的'转换内心感到无比的欣喜。
欣喜二：《建议》的出台即将更加规范小学科学教学课堂，更加规范小学科学老师的教学行为，给我们科学老师制定了一把清晰明朗的标尺来衡量自己的行为。
欣喜三：让我们看到了小学科学教育的希望，看到了小学科学教育的前景无限广阔。
说感叹
感叹一： 师资力量的普遍缺乏，科学老师数量不能保证，导致很多科学老师都以兼职老师的身份出现，科学课的质量难以保证。
以我们学校为例，听有关人士调查我们诸暨市实验小学是全市拥有专职科学老师数量最多的一所学校。
学科前沿心得篇6
小学期只上了六次课，而且由于讲座的时间限制，这几次课与平常的专业课有很大的不同。
由于时间短暂，打算介绍大量的专业的知识是不太现实的。老师们讲座的过程中都考虑到了时间限制以及我们有限的知识水平，从大处着眼，为我们大概介绍他们研究方向和内容，同时还会简单向我们介绍这些研究将来的实际意义，以及和我们通信工程专业的联系。总的来说，也许理论上逻辑上的很专业的知识，我们并没有学到多少，但老师们利用不到两小时的时间，就基本上将一个新的领域在我们的脑海中勾勒了出来，使我们这些死啃书本的孩子也有机会现实了一把，真正了解到与百姓的生活有直接联系的科学研究。
各位老师不仅在学术领域给我们打开了新的窗户，使我们眼前一亮，也为我们介绍他们在工作学习中切身的体会及经验，提前向我们预警就业道路及工作生涯可能遇到的问题。
有些老师还将幻灯片写成英语，听讲座的同时，还接触到了一些专业英语。当然，每场讲座只有两小时的时间，没有什么实质性的词汇积累。但看到英语ppt的时候，心里面有了小小的震撼，原来自己还有很多单词不认识，将英语迅速转化成中文的能力也还有欠缺。因此，讲座过后，便暗暗下了决心，寒假要让自己的英语再上一个台阶。
第一次课上，留学澳洲归来的田慧老师给我们讲的是无线传感器网络(energy issues in wireless sensor networks)。主要内容可分为什么是无线传感器网络，其中的主要问题有哪些以及最重要的部分就是如何解决。
第二次课上，黄琳琳老师给我们介绍了模式识别的历史与现状。听了这次讲座之后，才知道其实自己以前就接触过很多模式识别的东西，只不过没有将它们与这个专业的名词联系起来，更不知道自己也有可能成为研究这一领域的一员。众所周知我们人有五大感觉——视觉，嗅觉，味觉，听觉，触觉。正是通过这五种渠道(研究表明最主要的是视觉)，我们才能从外界获取各种各样的信息，这是我们与外界沟通桥梁。我感觉，模式识别就是给机器来构架这样一座桥梁，使计算机模仿人的感知能力，从感知数据中提取信息(判别物体和行为)。它广泛的应用前景是显而易见的。当代社会是信息大爆炸的时代，有用的，没用的;真的，假的;各种各样的信息纷至沓来。人们也已经意识到，仅靠人的力量根本不可能兼顾到每一条信息，那就更别提利用了。利用机器来帮人们获取信息，以减轻人类的压力，就显得很必要啦。模式识别就是这样一种工具，而且它还衍生出很多其他方面的应用，例如利用已获得信息，来进行进一步的判断与分类，已确定下一步的行动。这个梦想是美好的，但从老师的介绍中不难看出，要想实现零误差识别困难也是相当大的。毕竟，信息是多变的，而机器的灵活性几乎为零，这之间就出现一种矛盾，究竟怎么解决，就要靠一辈辈有志之士啦。
第三次课上，周晓波老师介绍了集成电路及可编程逻辑器件的发展与应用。集成电路现在几乎是渗透到生活的各个领域，平常也总是听到这个词，这次讲座第一次了解了它准确的定义：集成电路(integrated circuit，缩写ic)是通过通过一系列特定的加工工艺，将晶体管、二极管等有源器件、电容和电阻等无源器件，按照一定的电路互连，“集成”在一块半导体单晶片(如硅或砷化镓)上，封装在一个外壳内，执行特定电路或系统功能。自己在这学期先修过了计算机硬件技术基础这门课，计算机硬件中最重要的部件是cpu，而cpu究其本质其实就是一块集成电路，在这门课中学习cpu的发展时，其实是离不开集成电路的发展的。有了这门课的基础后，听这次讲座时，感觉跟老师有更多的共鸣点，可以说是两次课相互促进理解。集成电路便不再那么神秘了。它的两个重要指标是集成度和特称尺寸;同时对它的主要设计及制造流程也有了一定的了解;另外还了解了ic产业发展过程中几次技术上的分工。说到可编程逻辑器件，就又想到了这学期学的电类工程素质ii，protel99其实就是电子设计自动化中的一种工具，它是帮助工作人员简便的进行器件的设计。
由于周老师原本是清华通信系的，所以讲课中途，他又向我们介绍了几点他对通信专业的认识以及我们该掌握的必备技能。说真的，对我们专业到底学什么，以前自己真的没有听到过什么真的令我信服的答案，但周老师的话，才让我的头脑渐渐清醒啦：osi七层模型中物理层的研究是我们的主要领域，有频率的调制与解调，信号的接收发送，无线信道等方面的研究。
第四次课上，在无线通信方面颇有建树的钟章队教授给我们介绍了无线通信技术的发展与未来。认真审视我们的生活之后，应该可以发现，无线通信的应用应该可以算是很广泛了吧。但在老师的一番讲解之后，才知道虽然自己觉得这项技术已经算是很成熟了，但科研人员们还有更高的目标，还希望能把无线通信推向另一个高潮，给人们提供更便捷的无线通信。
大致来讲，无线通信经历了前蜂窝时期，蜂窝时期，第一代拟蜂窝通信，第二代数字蜂窝系统，第三代宽带移动通信系统等几个重要时期。当然每一时期的过渡，是建立在各种技术逐步发展的基础上。无线通信的的宽带化与移动化是一直以来的目标，经过各时期经验的铺垫，我们也有理由像老师一样坚信，这样的目标一定会实现。具体来讲，也许就是华为集团提出的.电信行业近十年可能会完成的四个超越——超越人口，超越语音，超越管道，超越行业。
第五次课上，李绍斌老师便给我们介绍了我们生活中已经不可或缺的一种交通——火车，当然是侧重铁路信号方面。由于我国的特殊国情，铁路信号的历史沿革是历尽沧桑。战争年代混乱的局面下是多国制式的共存，解放后原本是完全效仿苏联，可是又因中苏关系的恶化及国内阶级斗争等一系列原因而一度陷入停滞不前的状态。新时代解放了人们的思想之后，铁路信号便迎来了真正的春天。“引进、消化、集成、创新”，以前若听到这几个词，我肯定会觉得它们只不过是几个空头口号，几个官方宣言罢了。这次讲座之后才知道，正是这几个简单的策略将我国的铁路事业推向了世界的巅峰——高铁干线最长，实际运营速度最快。铁路的高速发展，信号的自动控制绝对是功不可没——人们的反应时间已经远不能满足高速运营的要求啦。目前我国普遍使用的是从外国引进并进行优化提高的的ctcs系统(中国列车控制系统)，与欧洲的列车控制系统etcs可谓各有所长。
第六次课，我真的听得有点晕头转向了，老师介绍了很多专业问题的求解，说实在的，没怎么听懂，但老师大概要表达的意思，我觉得还是领会了一些。有一点可以肯定——侯忠生老师绝对是专家。迭代学习控制与交通控制?看到这个题目时，我就犯嘀咕了，这两样有联系吗?答案必然是肯定的。一言以蔽之，我觉得“知错能改”应该是迭代学习控制的核心，每一次运行之后发现与既定目标曲线的误差，在下一次运行过程中能够进行改进。这也有点机器智能化的意味了。突然想到，第一讲中，模式识别遇到的其中一个问题就是机器的灵活性不够，也许与这项研究联系起来之后，结果会有一定的改观。那么，这样的技术若应用在交通领域，也必然是很有帮助的。
知识的海洋是无穷无尽的，老师们在其中游得很尽兴。也许将来我们也可以不要那么浮夸，将利益看得那么重，而是潜心做一些研究。在这样大好的形势下，说不定真的能有所建树，推出利国利民新技术。
学科前沿心得篇7
女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
1.介绍
在大学数学艺术课程中，在人文专业的数学课程中，在高中学员的课后活动中，以及在中学员的拓展活动中，都会提到图论。在这样的环境中，有机会给学员一瞥数学思想的多样性和与数学相关的主题的相互关联性。学员们常常把数学分解成不同的课程和主题，这些课程和主题被视为不同的思维方式。主题在他们的学习过程中出现，然后从他们的脑海中消失。通过选择包含重复线索和强化共同主题的模块，教育者可以很好地消除这种误解。此外，将数学思想应用于艺术相关主题的多种多样的本质赋予了数学抽象的本质和力量更广泛的意义。本文介绍了四个主题，它们可以整合到大学水平的数学和艺术课程中，也可以在大学预科水平的强化课程中独立使用。
2.凯尔特结
凯尔特结和链环装饰着珠宝、地毯、手稿、雕刻，甚至皮肤。学员可以学习使用图形作为构建自己的结设计的结构，使用christian mercat开发的方法。基本步骤如图1所示：从任意平面图(a)开始，在图的每条边上放置一个纽结交叉的指示(b)。(注意，结交叉有两种可能的方向，如图2所示。如图1(b)所示，应在图形的所有边上使用相同的方向。)每次交叉都会产生四个“散线头”，现在将它们连接在一起形成一个结。选择这些散线头中的一个，注意它将指向它所在的边的一端。沿着图的边缘朝这个方向走(不要穿过它们)，直到你到达另一个指向你的自由端。这是你应该连接的终点。继续以这种方式，直到没有更多的散线头结束(c)。最后，可能会把线条做平滑处理，并擦除底层图形(d)。这里我们有一个很好的数学抽象的例子：在创建起始图时，我们抽象出了期望的结的结构。在使用图表作为构建结的蓝图后，我们隐藏它，并将焦点放在结本身上，清理它并修饰它。
图1从平面图构造纽结。
图2纽结相对于图的边交叉的两种可能的方向。
为了更好地理解图形编码纽结结构的方式，学员可以颠倒这个过程，从纽结图开始，产生基本的平面图形，如图3所示。首先，请注意，有一种独特的方式来涂色纽结图的区域，使得外部区域被涂色，并且相同颜色的区域不相邻。以这种方式涂色后，在每个非涂色区域放置一个顶点。在每个交叉点上放置一条边，连接对应于在交叉点相遇的两个区域的两个顶点。每个交叉点都是图4所示的两种类型之一。每个交叉点对应的边可以将这些信息编码如下：如果交叉点如图4(a)所示，用实线画边，如果交叉点如图4(b)所示，用虚线画边。
图3 涂色纽结图和相应的平面图。
图4 阴影纽结图中的两种交叉。
由于平面图用于构造纽结，这是引入欧拉公式v-e+f=2的绝佳机会，其中平面图的面数f包括外表面。欧拉公式将在下面的第3节和第4节中发挥重要作用。
对于大型图形，上面概述的手工绘制结的过程可能很耗时。幸运的是，有几个很好的绳结软件可供选择。例如，knotsbag [2]生成了外观壮观的结，并用于创建图5，而更简单的knotwork [3]可作为小程序在线获得。
图5 用knotsbag制作的结。
mercat编制了一个全面的凯尔特结网站[4]，上面有一些历史，上述程序的详细说明和练习。该网站还描述了更先进的技术，如使用双重图形创建封装的“可堆叠”结，以及创建适合合并到人和动物的绘图中的结的说明。这是一个数学和艺术课程的大学员独立项目工作的极好资源。
高中生也喜欢打结。他们很惊讶自己能这么快就学会构造如此复杂的设计。数学抽象使我们能够解决表面上看起来太难的问题。
凯尔特结可以用来介绍结理论，有许多有趣的与结相关的活动适合所有水平的学员(例如，见[5]，[6]和[7])。
3 柏拉图立体
学员可以很容易地建立自己的柏拉图立体模型。软糖和牙签可能是学员们最喜欢的，但对于十二面体和二十面体来说，由于过于松软，可能会有些棘手。另一种可能性是使用切割成适当长度的吸管，用铁丝穿过吸管，拧在一起，连接起来。在学员有时间建立一组模型后，我让他们完成图6所示的图表，其中包括一列，以验证欧拉公式对每个固体都适用，就像它对第2节中用于构建结的平面图一样。此时，学员可以在表格中搜索其他模式，例如
然后可以证明这些是唯一可能的凸正多面体。
图6 关于柏拉图立体的组合信息的图表。
在搜索表格中的模式时，学员可能还会注意到立方体和八面体有相同的边数，一个的顶点数等于另一个的边数，十二面体和二十面体也是如此。现在可以引入平面图的对偶图概念(或者回忆一下，如果学员已经学会使用对偶图来产生封装的凯尔特纽结)，并用于研究为什么这些模式成立，并发现立方体对其自身是对偶的。
数学俱乐部或学员团队也可以建造超大的柏拉图立体，如图7所示的十二面体，这个模型是根据汤姆·赫尔的phizz单位建造的，说明可以在网上找到[8]。每个phizz单元变成十二面体的一条边，所以需要30个，我的学员用一张海报板做每个单元。这可能是一个耗时的项目；可能需要一节课来剪切和折叠所有的phizz单元，另一节课来构建模型并将其展示在显著位置。每个模型至少有四个学员的小组是最好的，这样裁剪和折叠就不会变得太乏味。此外，虽然使用像纸板一样厚的材料可以制作出耐用的最终模型，但如果折叠工作不是由几个人共同完成的话，手指可能会很难受。虽然一些学员可能很难仅根据书面说明理解如何折叠phizz单元，但我发现，如果为他们演示，大多数人都能很快学会，那些最先理解的人会喜欢帮助其他人。
图7 表现出三边涂色的折纸十二面体。
学员们可能会想知道在他们的模型中使用有趣或有吸引力的涂色方法。人们很自然地会问，是否有可能对十二面体进行三边涂色，也就是说，用三种颜色来构建模型，使得相同颜色的两条边都没有共享一个共同的顶点。一开始，学员可能会认为他们应该开始构建模型，并在他们前进的过程中解决这个问题，但它需要一点灵巧来将phizz单元连接在一起，学员不会想要深入到最后几个部件，并意识到他们被卡住了。在这种情况下，我们可以用图形。相反，学员们可以先画一个十二面体的图形(或者给出图8中的图形)，然后用彩色铅笔尝试三边涂色。你可以询问是否有人在这个过程中提出了任何有趣的策略(也许是使用对称)，并指出他们正在使用三维(3d)对象的二维(2d)模型，以便有更容易处理的东西。2d模型忽略了3d版本的一些特征，如角度和边的长度(事实上，一些学员的画可能看起来与图8非常不同)，但保留了与手头任务相关的东西：顶点和边的数量以及它们如何相互连接。一个成功的涂色可以很容易地实现，然后可以用作正确涂色模型的映射，特别是如果学员能够识别其中的模式。要求学员验证他们的图形具有适当数量的顶点、边和面(挑战将是找到“缺失的”面)。
这项活动有许多令人满意的方面。由于它需要许多不同的技能(视觉/空间，发现对称和模式的能力，手工灵巧性，团队组织和领导能力等)，它使所有学员都能发挥积极的作用，包括那些通常在数学课上不擅长的学员。它的结果是适合在公共场所展示的东西。为了表彰学员的努力并鼓励更广泛的兴趣，在模型展示后，我在附近张贴了一些关于十二面体的信息，并确定了负责建造它的学员。我还留下了如图8所示的谜题副本。
图8 十二面体涂色游戏，用三种颜色涂色。
当然，更高级的模型是可能的。按照乔治·哈特网站上的说明[9]，一个截头二十面体可以由90个phizz单元，或者由cd和电缆扎带构建而成。事实上，任何有三条边在每个顶点相交并且只有五边形和六边形面的多面体都可以由phizz单位制成。这种多面体被称为布基球，学员可以使用对偶图来发现布基球族，如汤姆·赫尔的网站[8]所述。首先，欧拉公式和方程(1)的适当推广可以用来证明一个惊人的事实，即任何布基球必须恰好包含12个五边形面(因此十二面体是最小的可能布基球)。学员可以从十二面体的图形开始，构造它的对偶，即二十面体。注意，二十面体的所有顶点都是五次的。二十面体的每个三角形面都可以细分成n≥2的n^2三角形，这样，每个新创建的顶点的度数都是6。因此，这个图的对偶将是一个布基球。此外，二十面体的细分三角形面之一的对偶图充当拼块，在构建布基球模型时非常有用。简单地将这些瓷砖连接在一起，记住二十面体的结构。
对于许多其他折纸模型的链接，见[10]。学员还可以进一步探索图的涂色，也许找到十二面体所有可能的三边涂色，或者尝试给二十面体的图五边涂色。
4.第四维
在大学数学和艺术课上讲授线性透视单元之后，往往会提到射影几何和维度。在20世纪初，许多艺术家受到四维几何的影响，四维几何在当时的物理学中起着重要作用。robbin[11]给出了理解第四维度的投射模型的历史(根植于投射几何)，并证明它仍然是当代艺术、数学和计算机可视化的灵感来源。亨德森[12]提供了艺术家和科学家之间互动的丰富文本证据，以及结合艺术家对第四维度概念的绘画分析。
通过定义和构建超立方体(一项改编自[13]的活动)可以了解维度。首先可以要求学员定义0维、1维、2维和3维立方体的含义。学员可能会提出类似图9的建议。现在显示图1(a)中的图形，并询问它是否也是一个3d立方体。指出3d立方体必须被压扁以适应2d黑板。这两种观点只是从不同的方向进行挤压。这些表示有什么不同?它们怎么一样?它们各自的优点和缺点是什么?也许以同样的方式，一个4d立方体可以被“压扁”以适应3d空间。与黑板上绘制的3d立方体一样，这样的模型不会保留真正的4d超立方体的所有直角和等长边，但它将具有相同数量的顶点、边、面和3d单元格，并将保留它们彼此连接的方式。
图9 0、1、2、3维
现在学员们可以猜测四维立方体有多少个顶点(数一下小于四维的立方体的顶点)。n维立方体中有多少顶点?挑战他们找到一个合理的方法来扩展这些立方体的绘图序列。一种可能是将每个立方体视为低一维的立方体的形式，通过在“垂直于自身”的方向上移动一个单元。然而，这个定义对于三维以外的立方体的描绘并不是很有帮助。学员们现在将会理解n维立方体的图论定义，即维度为n-1的立方体与两个顶点上的完整图的笛卡尔积。定义图g1, g2的笛卡尔积g1×g2的顶点集为g1和g2的顶点集的笛卡尔积。两个顶点(u1, u2)和(v1, v2)在g1×g2中是相邻的，无论在g2中u1 = v1, u2与v2相邻，或者在g1中u2 = v2, u1与v1相邻。因此，为了获得一个n维的立方体，绘制两个n-1维的立方体并连接所有对应的边。在这一点上，学员应该能够画出一个四维甚至五维的立方体——尽管有许多交叉——并且能够找到一个n维立方体中边数的递归公式。当n≥4时，n立方体的图是非平面的。在前面两节中，学员只遇到过平面图形，现在可以考虑非平面图形的“交叉数”，即图形在平面上可以画出的最小可能的交叉数。四维超立方体的交叉数是8，学员可以挑战生成一个只有8个交叉的超立方体图(图10)。
图10 具有最小交叉数(8)的超立方体图
现在学员可以建立一个没有交叉点的4d立方体模型，如图11所示。再说一次，口香糖和牙签或者铁丝和吸管都很好用。这个模型可以与用来创建图1(a)的投影进行比较。在图1(a)中，在一个较大的正方形中有一个小正方形，而在超立方体模型中，一个小立方体包含在一个较大的立方体中。如果小立方体的边长是大立方体边长的一半，学员可以计算连接这两个立方体的边的适当长度(他们应该将吸管或牙签剪得比这个短一点，以留出顶点所需的额外空间)。或者，适当的长度可以在讲义上注明。
图11 一个超立方体模型，由吸管和铁丝组成，呈现四边涂色。请参见本图彩色版本的插页。
成功地对十二面体进行了三边涂色的学员可能想知道超立方体是否可以是四边涂色的，更一般地，n维立方体是否可以是n边涂色的。通过观察，很容易看出这是正确的，如果一个图gi对于i = 1，2可以是k1-边涂色的，那么笛卡儿积g1 × g2可以是k1+k2-边涂色的。学员们可以利用这种观察来制作他们的超立方体模型的四边涂色，或者他们可以进一步挑战超立方体的四边涂色，以这样一种方式，每个正方形有一条边是每种颜色。
如果学员们已经发现了柏拉图立体的e = nf/2，他们现在可以证明超立方体的e = 4f/3，并使用它来计算超立方体的面数。在学习了四维欧拉公式(v-e+f-c=0，其中c表示3d单元的数量)后，学员可以证明超立方体有八个3d单元，然后尝试在他们的模型中找到所有八个单元。
学员可能对超立方体的其他表示感兴趣，比如图12中的表示，或者萨尔瓦多·达利的超立方体语料库。一个有趣的立体超立方体动画可以在[14]在线观看。
图12 对称超立方体投影。
5 敲钟
最后，图可以用来作曲。在传统的英国敲钟中，重达数吨的钟被安装在一个木轮上，一根绳子垂到敲钟室里。当敲钟人拉动绳子时，钟就会旋转一圈，然后以嘴朝上的姿势短暂停留。在再次敲响之前，钟在这个位置上保持平衡的时间只能有轻微的变化。由于这些机械的限制，变响并不涉及旋律本身，而是遵循严格的数学规则。连续排列的n个钟被敲响，一个“广度”包括敲所有可能的排列。给铃铛标上1,2,3…,n按音高由高到低的顺序排列，我们可以把音域组成的三个主要规则表述如下:
1. 从开始到结束是1,2,3，…, n。
2. 每隔n个钟的排列敲一次。
3.从一个排列到下一个排列，每个钟最多只能移动一个位置。(例如，1、2、3、4、5、6后面可以接1、3、2、4、6、5，但不能接3、1、2、4、6、5，因为这需要第三个铃移动两个位置。)
学员可以很容易地检查出三个钟只有两个音区。然而，如果没有一些额外的工具，他们会发现很难找到四钟的范围。
回想一下，包含图中所有顶点的循环被称为“哈密顿循环”。图论和变环之间的联系是这样的：n个钟上的范围对应于cayley颜色图g△(sn)中的哈密顿循环，其中△的每个元素都是不相交转置的乘积，这样每个转置都由连续的整数组成(有关cayley颜色图的更多信息，请参阅[15]的第30章)。有了这些知识，学员可以通过在图13所示的图表中找到哈密顿循环来组成自己的四钟范围。高级学员可以被要求自己构建这个图表。这个图是非平面的，但是应该提醒他们要画出一个有尽可能少交叉的图，并且要画出一个对称的图，这样更容易找到哈密顿循环。在成功地编写了一个范围后，学员可以享受将它输入到the bells applet[16]中来听它演奏。
图13 s4的cayley色图
如果时间允许，学员还可以在研究等边三角形和正方形的刚体运动集合后，构造二面体群的cayley色有向图。这提供了一个机会来提醒学员两个图的笛卡尔积的思想，这是我们在上面定义超立方体时看到的。对于△由2π/n弧度旋转和一次翻转组成，cayley彩色有向图g△(dn)的底层图是一个n周期与两个顶点上的完整图的笛卡尔积(见图14)。进一步研究艺术和建筑设计中的对称组，如玫瑰窗、伊斯兰艺术和标志及其相应的cayley彩色图，将加强这样的观点，即图形是一种可以抽象和更好地理解主题的基本对称类型的手段。
图14 前四个二面体群的cayley色有向图
可以将哈密顿循环与旅行推销员问题联系起来讨论，学员可以证明n-立方体在n≥2时是哈密顿的(n-立方体定义为笛卡尔积的一个简单结果)。
如需了解更多有关变化敲钟艺术和基础数学的信息，请参阅[17]、[18]或[19]的第6章。
references参考文献
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[19] polster, b., 2003, the mathematics of juggling (new york: springer-verlag).
[20] leslie d. hayes, graph theory as a recurring theme in a series of mathematics and art course modules
青山不改，绿水长流，在下告退。
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